Matematika Abstrak

MATEMATIKA SEBAGAI ILMU YANG BERSIFAT ABSTRAK DAN DEDUKTIF

            Hubungan, pola, bentuk dan rakitan yang merupakan sasaran matematika bukanlah akhir dari perumusan matematika tapi dewasa ini justru yang ditelaah lebih jauh adalah matematika menyangkut pengertian-pengertian abstrak.

            Para ahli yang menyatakan matematika sebagai ilmu yang bersifat abstrak antara lain  menurut Salomon Bochner,  matematika tidak berhubungan  dengan dunia luar, melainkan hanya dengan hal-hal dan hubungan-hubungan yang merupakan gambaran- gambaran yang diciptakannya sendiri. Dengan ini lahirlah pendapat yang menganggap matematika sebagai penelaahan tentang sistem-sistem abstrak.Sejalan dengan itu filsuf Charles Sanders Peirce (1839-1914) menyatakan bahwa matematika tidak berhubungan dengan keadaan senyatanya dari benda-benda melainkan semata-mata dengan keadaan pengandaian dari benda-benda.

            Dari pendapat di atas maka jelaslah matematika tergolong sebagai ilmu yang bersifat abstrak atau sering juga disebut matematika murni. Karena ciri-ciri matematika yang abstrak dan murni itu kemudian Bertrand Russel   membuat perumpaan bahwa matematika dapat didefinisikan sebagai mata pelajaran yang didalamnya kita tak pernah mengetahui apa yang sedang kita bicarakan maupun apakah yang kita katakan adalah benar.

            Perumpamaan yang dikemukakan Russell mendapat tanggapan dari beberapa ahli matematika antara lain Bell manyatakan bahwa perumusan itu menekankan sifat abstrak yang sepenuhnya  dari  matematika. Lebih lanjut menyatakan perumusan Russel itu sesungguhnya bukan suatu definisi matematika melainkan sebuah pelukisan dengan semacam sajak pendek tentang ciri-ciri matematika murni atau matematika abstrak yang tumbuh dalam abad ke 20 ini.

            Untuk lebih jelasnya makna perumusan Russel itu ialah bahwa setiap system matematika sebagai landasannya yang penghabisan berpangkal pada unsur-unsur yang tidak diterangkan lebih lanjut, dengan kata lain semua perumusan dalam matematika pada akhirnya didasarkan pada istilah-istilah yang tak diuraikan artinya. Istilah dimaksud dalam bentuknya sebagai lambang belaka tidak memiliki arti dari dunia kenyataan, kosong dari pengertian. Untuk itu para ahli matematika tidak mengetahui apa yang sedang dibicarakannya dalam matematika. Contoh sederhana :

 (x + y)² = x² + 2xy + y², tidak diketahui apa arti lambang x dan y itu selama bergerak  dalam bidang  matematika abstrak.

            Para ahli dalam melakukan langkah-langkah pengerjaan terhadap istilah-istilah yang tak diuraikan artinya itu membuat kesimpulan-kesimpulan berdasarkan berbagai pernyataan yang telah ditetapkan di atas. Pernyataan-pernyataan yang mereka hasilkan lazimnya dinamakan aksioma atau postulat. Misalnya “Keseluruhan adalah lebih besar dari pada bagiannya yang mana pun”atau pernyataan “Melalui dua  titik  yang berbeda hanya dapat ditarik satu garis lurus. Aksioma atau postulat tersebut merupakan asas-asas dasar yang kini dianggap sebagai kata sepakat dalam matematika yang tidak dibuktikan kebenarannya. Oleh karena itu  dalam matematika murni apabila  para ahli  menyusun dalil-dalil dari aksioma/postulat itu mereka juga tidak mengetahui apakah yang dikatakan itu benar atau tidak dalam hubungannya dengan dunia kenyataan. Kesimpulan atau dalil ini hanyalah berlaku sesuai dengan deduksi yang dijalankan menurut hukum-hukum logika.

            Dari uraian di atas ternyata matematika bukan saja ilmu yang bersifat abstrak tetapi juga bersifat deduktif, untuk itu berbicara matematika bukan saja dilihat dari sisi sasarannya saja melainkan yang lebih utama adalah metode logika atau metode pembuatan kesimpulan yang dipakai, Oleh karena itu  dalam abad ke- 20 ini terdapat pendirian yang memandang matematika  sebagai suatu metode pemikiran, sebagaimana yang dikemukakan Morris Kline bahwa matematika adalah suatu metode penyelidikan yang dikenal sebagai pemikiran berdasarkan postulat. Metode itu terdiri dari merumuskan secara seksama definisi-definisi tentang pengertian-pengertian yang akan dibahas dan menyebutkan secara tegas patokanpikir-patokanpikir yang akan merupakan dasar bagi  penalaran. Dari definisi-definisi dan patokanpikir-patokanpikir  ini diturunkanlah kesimpulan-kesimpulan dengan menerapkan logika paling ketat yang mungkin dipakai orang.

            Pembuatan kesimpulan dari patokanpikir-patokanpikir sebagaimana yang dikemukakan di atas lazim disebut penalaran deduktif. Penyimpulan dari kumpulan aksioma yang ditetapkan pada berbagai sistem  matematika dan kesimpulan-kesimpulannya hanyalah diterima setelah ditetapkan berdasarkan  deduksi, bahkan  menurut pendapat Bell tanpa pembuktian deduktif yang paling ketat dari patokanpikir-patokanpikir yang disebutkan secara jelas maka tidak ada matematika.

            Dari penjelasan diatas, matematika kadang-kadang dianggap sebagai cabang dari ilmu tentang pembuatan kesimpulan,  bahkan Benjamin Peirce (1809 – 1880 ) merupakan seorang ahli yang pertama kali menyatakan matematika adalah ilmu yang menarik kesimpulan-kesimpulan yang perlu.

Rumusan Peirce maupun rumusan Russell tentang matematika murni di atas merupakan rumusan yang paling banyak dikutip oleh pengarang-pengarang buku matematika. Rumusan Russell menekankan pada sifat matematika yang abstrak sedangkan Peirce menunjukkan sifat deduktif dari matematika, namun baik  Russell maupun Peirce sesungguhnya tidak menjelaskan apakah matematika itu, tapi yang jelas matematika  sejak zaman kuno sampai masa modern ini telah berkembang dari ilmu yang menelaah bilangan dan ruang menjadi ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif yang menelaah pengertian-pengertian abstrak dengan langkah penyimpulan yang logis dan metode pemikiran berdasarkan postulat.